Seandainya tidak ada angka...

Ada 10 angka yang umum digunakan, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Angka-angka itu umum digunakan sehari-hari karena umumnya perhitungan menggunakan sistem 10^n.

Apa jadinya kalau tidak ada angka-angka berikut:
9 --> Kalau tidak ada angka 9, berarti angka yang ada hanya 0 - 8, maka 9^n nilainya menjadi 10^n
   --> 1 = 1       5 = 5            9 = 10           13 = 14           17 = 18         45 = 50        81 = 100
         2 = 2       6 = 6           10 = 11          14 = 15           18 = 20         54 = 60      729 = 1,000
         3 = 3       7 = 7           11 = 12          15 = 16           27 = 30         63 = 70    6498 = 10,000
         4 = 4       8 = 8           12 = 13          16 = 17           36 = 40         72 = 80       dst.....


8 --> Kalau tidak ada angka 8, berarti angka yang ada hanya 0 - 7, maka 8^n nilainya menjadi 10^n
   --> 1 = 1              5 = 5            9 = 11           13 = 15           24 = 30         56 = 70
         2 = 2              6 = 6           10 = 12          14 = 16           32 = 40         64 = 100
         3 = 3              7 = 7           11 = 13          15 = 17           40 = 50       512 = 1,000
         4 = 4              8 = 10         12 = 14          16 = 20           48 = 60     4096 = 10,000       dst.....


7 --> Kalau tidak ada angka 7, berarti angka yang ada hanya 0 - 6, maka 7^n nilainya menjadi 10^n
   --> 1 = 1              5 = 5            9 = 12           13 = 16           35 = 50
         2 = 2              6 = 6           10 = 13          14 = 20           42 = 60
         3 = 3              7 = 10         11 = 14          21 = 30           49 = 100
         4 = 4              8 = 11         12 = 15          28 = 40         343 = 1,000       dst.....


6 --> Kalau tidak ada angka 6, berarti angka yang ada hanya 0 - 5, maka 6^n nilainya menjadi 10^n
   --> 1 = 1              5 = 5            9 = 13           18 = 30         216 = 1,000
         2 = 2              6 = 10         10 = 14          24 = 40       1296 = 10,000
         3 = 3              7 = 11         11 = 15          30 = 50       7776 = 100,000
         4 = 4              8 = 12         12 = 20          36 = 100   46656 = 1,000,000       dst.....


5 --> Kalau tidak ada angka 5, berarti angka yang ada hanya 0 - 4, maka 5^n nilainya menjadi 10^n
   --> 1 = 1              5 = 10           9 = 14           25 = 100
         2 = 2              6 = 11         10 = 20         125 = 1,000
         3 = 3              7 = 12         15 = 30         625 = 10,000
         4 = 4              8 = 13         20 = 40       3125 = 100,000       dst.....


4 --> Kalau tidak ada angka 4, berarti angka yang ada hanya 0 - 3, maka 4^n nilainya menjadi 10^n
   --> 1 = 1              8 = 20              64 = 1,000
         2 = 2            12 = 30            256 = 10,000
         3 = 3            16 = 100        1024 = 100,000
         4 = 10          32 = 200        4096 = 1,000,000        dst.....

Di sinilah kita bisa mulai bermain. Perbedaan antara ada dan tidaknya angka 9 tidak menimbulkan perbedaan angka yang besar pada bilangan-bilangan di bawah 100, karena 10 dan 9 selisihnya hanya 1 angka. Begitu juga dengan 8 dan 7 yang tidak terlalu jauh dari 10.
Sekarang kita akan bermain-main dengan ketiadaan angka 4 - 9. Angka yang ada hanya 0, 1, 2, dan 3.
Berarti:
3 + 2 = 11               12 - 3 = 3              2 x 3 = 12              32 : 2 = 13
2 + 2 = 10             20 - 13 = 1              3 x 3 = 21              33 : 3 = 11



3 --> Kalau tidak ada angka 3, berarti angka yang ada hanya 0 - 2, maka 3^n nilainya menjadi 10^n
   --> 1 = 1              5 = 12             9 = 100            15 = 120
         2 = 2              6 = 20           10 = 101            18 = 200
         3 = 10            7 = 21           11 = 102            20 = 202
         4 = 11            8 = 22           12 = 110            27 = 1,000          dst.....
Yang artinya:
2 + 2 = 11             21 - 2 = 12            2 x 2 = 11
1 + 2 = 10           20 - 11 = 2           12 x 11 = 202

Uniknya, 11, 101, 121, dan banyak bilangan ganjil lainnya menjadi bilangan genap.
Dan 11 bukan lagi bilangan prima karena ia merupakan hasil dari 2 x 2.
10, 21, 102, yang bukan bilangan prima, menjadi bilangan prima.


Dan... seandainya tidak ada angka lain, selain 0 dan 1, maka itulah yang disebut bilangan binary. 'Bi' artinya dua. Jadi bilangan binary artinya hanya ada dua angka, yaitu 0 dan 1, sehingga 2^n menjadi 10^n. Namun aku tidak akan membahasnya di sini karena sudah pernah dibahas di postingan khusus yang membahas bilangan binary.

Happy mathematic weekend guys!

Pohon Natal Fibonacci

Bicara soal Matematika, sepertinya materi yang paling pas untuk dibahas hari ini adalah Fibonacci.

Aku mendeskripsikan Fibonacci sebagai sebuah pola barisan deret bilangan, di mana angka-angka di setiap baris merupakan hasil penjumlahan dari dua angka di baris di atasnya, yang mengapit di kiri dan kanan.

Pohon natal di atas adalah deret Fibonacci, di mana angka-angka di baris bawah adalah penjumlahan dari dua angka di baris atasnya.

Itulah asal muasal rumus (x + y)^n.

Barisan pertama, yang hanya terdiri dari angka 1, mewakili (x+y)^0 = (x+y) : (x+y) = 1.

Barisan ke dua, yang terdiri dari dua buah angka 1, mewakili (x+y)^1 = x + y.

Barisan ke tiga, yang terdiri dari angka 1, 2, dan 1, mewakili (x+y)^2 = (x^2) + 2xy + (y^2).

Barisan ke empat, yang terdiri dari angka 1, 3, 3, dan 1, mewakili (x+y)^3 = (x^3) + 3y(x^2) + 3x(y^2) + (y^3).

Begitu seterusnya. Dalam penguraian (x+y) pangkat sekian, semakin ke kanan, pangkat x semakin mengecil, dan pangkat y semakin membesar, dengan variable angka sesuai deret Fibonacci.

Bila angka-angka dalam baris deret Fibonacci di atas dijumlahkan, maka hasil penjumlahan angka-angka dalam setiap baris adalah 2 pangkat baris yang mewakilinya.

1 = 2^0

1 + 1 = 2 = 2^1

1 + 2 + 1 = 4 = 2^2

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4

Dalam kasus angka 2, (x+y) adalah (1 + 1).

Cobalah praktekkan bilangan Fibonacci dengan angka lainnya.

5^3 = (3+2)^3 = 1 (3^3) + 3 (3^2)(2) + 3 (3)(2^2) + 1 (2^3) = 27 + 54 + 36 + 8 = 125

--à 5 x 5 x 5 = 125

5^4 = (3+2)^4 = 1 (3^4) + 4 (3^3)(2) + 6 (3^2)(2^2) + 4 (3)(2^3) + 1 (2^4) = 81 + 216 + 216 + 96 + 16 = 625

--à 5 x 5 x 5 x 5 = 625

Selamat natal, Teman-teman!

Bilangan Perpangkatan

Seperti sudah dijelaskan dalam post berjudul “Pola dalam Kelipatan”, perpangkatan adalah formula untuk menyatakan berapa kali suatu bilangan dikalikan dirinya sendiri.

a^1 = a

a^2 = a x a

a^3 = a x a x a

a^4 = a x a x a x a

Dan itulah mengapa a^0 = 1. Karena a^1, berarti ada 1 angka a. Bila a^0, berarti sama sekali belum dikalikan dengan a, yaitu 1.

Penjelasan yang lebih mudah dipahami mungkin melalui sifat a^(b-c).

Contoh:

2^(5 – 3) = 2^2 = 4

2^(5 – 3) = 2^5 : 2^3 = 32:8 = 4

Jadi, bila 2 dipangkatkan dengan 0, adalah 2^(a – b) di mana a – b = 0. Bila a – b = 0, maka a = b.

2^(5 – 5) = 2^5 : 2^5 = 32 : 32 = 1

2^(1 – 1) = 2 : 2 = 1

Apakah sudah cukup jelas?

Jadi, bila pangkat positif berarti bilangan tersebut dikalikan bilangan itu sendiri sebanyak n, maka bila pangkatnya negative, berarti bilangan tersebut dibagi dengan bilangan itu sendiri sebanyak n.

2^(-1) = (2^0) : (2^1) = 1 : 2 = ½

2^(-4) = 1/16

Hukum lainnya adalah hasil dari 'x pangkat 1/2' adalah 'akar x'.

Jadi 4 pangkat 1/2 adalah 2.

Maka 9 pangkat 5/2 adalah 243.

Keistimewaan Setiap Bilangan

0
Satu-satunya bilangan yang memiliki semua bilangan sebagai faktornya. Pada bilangan lain, setelah bilangan yang nilainya setengah dari bilangan tersebut, tidak mungkin ada bilangan lain yang menjadi faktornya. Tapi semua bilangan adalah faktor dari 0. Karena setiap bilangan apapun, bila dikalikan dengan 0, maka hasilnya adalah 0.
Contoh: 4 x 0 = 0

Satu-satunya bilangan yang tidak mempunyai kelipatan selain dirinya sendiri.


1
Satu-satunya bilangan yang mempunyai hanya satu faktor.

Setiap bilangan adalah kelipatan dari 1, atau bisa dikatakan, setiap bilangan memiliki 1 sebagai faktor mereka.

Bilangan berapapun, dipangkatkan dengan angka 0, maka hasilnya 1, dan bila dipangkatkan 1, hasilnya bilangan itu sendiri.
Contoh: 2^0 = 1      2^1 = 2
             3^0 = 1      3^1 = 3


2
Pertama dan satu-satunya bilangan prima yang genap. Bilangan genap lain memiliki 2 sebagai faktor mereka.

Semua bilangan adalah hasil penjumlahan bilangan 2 pangkat sekian (lihat Sistem Bilangan Binary).
Contoh: 89 = 64 + 16 + 8 + 1 = (2^6) + (2^4) + (2^3) + (2^0)


3
Bilangan prima ganjil pertama, namun bukan satu-satunya.

Semua kelipatan 3, bila angka-angkanya dijumlahkan, maka hasilnya juga akan merupakan kelipatan 3.
Contoh: 3 x 17 = 51 --> 5 + 1 = 6
             3 x 15 = 45 --> 4 + 5 = 9


4
Pola satuan setiap bilangan pangkat sekian akan berlipat setiap pangkat kelipatan 4.
Contoh:
Deret bilangan 2^x: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, dst --> pola satuannya 2, 4, 8, 6, lalu 2 lagi.
Deret bilangan 3^x: 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561...
Hal itu dikarenakan, bilangan genap apapun, bila dikalikan bilangan itu sendiri sebanyak 4 kali, maka satuannya pasti memiliki satuan 6, sementara setiap bilangan genap dikali 6 hasil satuannya adalah bilangan itu sendiri.
Dan setiap bilangan ganjil selain 5, bila dikalikan bilangan itu sendiri sebanyak 4 kali, maka hasilnya pasti memiliki satuan 1, sementara bilangan berapapun bila dikalikan 1 hasilnya adalah bilangan itu sendiri.


5
Angka 5, bila dikalikan dengan dirinya sendiri, berapa kalipun, satuannya akan selalu 5. Hal itu dikarenakan bilangan ganjil apapun bila dikali 5 maka hasilnya pasti 5.

Bilangan genap apapun, bila dikalikan 5, satuannya pasti 0. Cara termudah untuk menghitung suatu bilangan genap dikali 5 adalah dengan membagi dua bilangan tersebut dan tinggal tambahkan 0 sebagai satuannya.
Contoh: 8 x 5 --> 8/2 = 4 --> 40
             18 x 5 --> 18/2 = 9 --> 90

Cara mudah untuk menghitung suatu bilangan ganjil dikali 5 adalah dengan mengurangi 1 bilangan tersebut, lalu dibagi 2, dan tambahkan 0 sebagai satuan.
Contoh: 13 x 5 --> 13 - 1 = 12 --> 12/2 = 6 --> 65


6
Angka 6, bila dikalikan dengan dirinya sendiri, berapa kalipun, satuannya akan selalu 6. Karena bilangan genap berapapun, bila dikalikan 6, maka hasilnya akan memiliki satuan bilangan itu sendiri. Hal itu dikarenakan fakta tentang angka 5, bahwa setiap bilangan genap dikali 5 satuannya pasti 0.


7
Satu, dibagi dengan angka 7, atau dengan kata lain 1/7, hasilnya adalah 0,142857142857142857...dst.
Bilangan 142857 yang terus berulang di sebelah kanan koma pada hasil 1 : 7 adalah sebuah bilangan yang unik karena merupakan Kelipatan Persekutuan dari beberapa bilangan prima, yaitu 3, 11, 13, dan 37.
Bila 142857 dipisahkan angka-angkanya menjadi 142 dan 857, kemudian dijumlahkan, maka hasilnya adalah 999.
142 + 857 = 999

Setiap bilangan yang bukan kelipatan 7 selalu memiliki angka 142857 yang berulang di belakang koma. Polanya selalu sama, namun yang membedakan hanya awalannya saja.
Bila n = 7 dan kelipatannya, maka:
(n+1) /7 = ...,142857
(n+2) /7 = ...,285714
(n+3) /7 = ...,428571
(n+4) /7 = ...,571428
(n+5) /7 = ...,714285
(n+6) /7 = ...,857142


8
1 : 8 = 0,125 --> 1 + 2 + 5 = 8


9
Bilangan berapapun, bila dikalikan 9, maka angka-angkanya bila dijumlahkan hasilnya samadengan 9.
Contoh: 13 x 9 = 117 --> 1 + 1 + 7 = 9

Bermain-main dengan Sistem Bilangan Binary

Sebelum mulai membahas bilangan binary, saya akan memberikan contoh sebuah permainan.
Permainan ini disebut 'Permainan tebak tanggal'. Bagaimanakah caranya?

Di bawah ini ada 5 kelompok angka.

Kelompok a:
1     3     5     7
9    11   13   15
17  19   21   23
25  27  29    31

Kelompok b:
2     3     6     7
10  11   14   15
18  19   22   23
26  27   30   31

Kelompok c:
4     5     6     7
12  13   14   15
20  21   22   23
28  29  30    31

Kelompok d:
8     9    10   11
12  13   14   15
24  25   26   27
28  29   30    31

Kelompok e:
16  17   18   19
20  21   22   23
24  25   26   27
28  29  30    31

Sekarang, pilih 1 tanggal, tanggal berapa saja dari tanggal 1 - 31. Boleh tanggal ulangtahunmu, atau tanggal ulangtahun orang yang disayang, atau tanggal spesial lainnya.
Lalu, lihatlah 5 kelompok tersebut, dan carilah, di kelompok yang mana sajakah tanggal pilihanmu berada?

Contoh:
Bila tanggal pilihanmu ada di kelompok a, b, dan c, maka jawabannya pasti 7!
Bila jawabanmu ada di kelompok a, c, dan d, maka jawabannya pasti 13!

Darimana saya tahu? Jawabannya adalah, dengan menjumlahkan angka pertama dalam setiap kelompok yang dipilih!

Silakan coba buktikan sendiri! Suruh teman atau saudaramu memikirkan satu tanggal istimewa tanpa menyebutkan tanggal itu padamu, dan tebaklah angka tersebut dengan cara di atas.

Nah, setelah melakukan permainan sederhana di atas, pertanyaannya, bagaimana bisa begitu??
Jawabannya ada pada 'Sistem Bilangan Binary'.

Apakah sistem binary itu?

Saya akan mendeskripsikan sistem bilangan binary sebagai, suatu sistem bilangan yang hanya mengenal angka 0 dan angka 1.

0   = 0
1   = 1
2   = 10
3   = 11
4   = 100
5   = 101
6   = 110
7   = 111
8   = 1000
9   = 1001
10 = 1010
11 = 1011
12 = 1100
13 = 1101

...dan seterusnya...

Karena hanya ada 2 angka, yaitu 1 dan 0, maka 2 = 10, dan oleh karenanya, setiap bilangan 2 pangkat sekian, dalam bilangan binary akan menjadi 10 pangkat sekian.

2   = 10           --> 2^1 menjadi 10^1
4   = 100         --> 2^2 menjadi 10^2
8   = 1000
16 = 10000
32 = 100000

Hal yang sama akan terjadi pada bilangan-bilangan lainnya.

3 bilangan: 0, 1, 2
0   = 0
1   = 1
2   = 2
3   = 10
4   = 11
5   = 12
6   = 20
7   = 21
8   = 22
9   = 100
10 = 101
11 = 102
12 = 110
13 = 111

...dan seterusnya

Namun, keistimewaan bilangan binary dibandingkan dengan deret bilangan dengan berapa angkapun, adalah, bahwa setiap bilangan, adalah gabungan dari beberapa bilangan dua pangkat sekian, tanpa mengulang pangkat yang sama dua kali.

Contoh:
47 = 32 + 8 + 4 + 2 + 1 = (2^5) + (2^3) + (2^2) + (2^1) + (2^0)

Bila diuraikan dengan 3 pangkat sekian, maka akan ada angka yang terulang.
47 = 27 + 9 + 9 + 1 + 1 = (3^3) + (3^2) + (3^2) + (3^0) + (3^0)

Karena itulah, yang bisa dijadikan permainan semacam tebak tanggal di atas adalah 'Sistem Bilangan Binary'.
Sebenarnya, bilangan binary bukan hanya bisa digunakan untuk menebak tanggal. Angka yang ditebak bisa sampai berapapun. Kuncinya adalah, setiap kelompok bilangan dimulai dari angka 2 pangkat sekian, dan pola deret bilangannya berselang sebanyak bilangan pertama dari masing-masing kelompok.

1, 3, 5, 7, 9, 11, dst --> diawali dengan 1 (2^0), diselang 1 setiap 1 bilangan
2, 3, 6, 7, 10, 11, dst --> diawali dengan 2 (2^1), diselang 2 setiap 2 bilangan
4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, dst --> diawali dengan 4 (2^2), diselang 4 setiap 4 bilangan
8 - 15, 24 - 31, 40 - 47, dst --> diawali dengan 8 (2^3), diselang 8 setiap 8 bilangan
16 - 31, 48 - 63, dst --> diawali dengan 16 (2^4), diselang 16 setiap 16 bilangan
32 - 63, 96 - 127, dst --> diawali dengan 32 (2^5), diselang 32 setiap 32 bilangan

Itulah bilangan binary yang luar biasa!

Rule 72! 72 Rules!

'Rule 72' adalah sebuah formula yang digunakan ahli keuangan terkemuka Alessandro Forte, untuk menghitung kenaikan harga barang dalam sekian tahun.

Rumus 'Rule 72' adalah, angka 72, dibagi dengan angka rata-rata inflasi atau kenaikan harga barang di suatu negara, maka hasilnya adalah jangka waktu sekian tahun, di saat harga-harga barang menjadi 2 kali lipat dari harga semula.

                                                                                                          i = tingkat inflasi
                                                                                                          n = tahun/jangka waktu
                                                                                                          x = harga barang

Ketika seorang teman menyampaikan hal ini kepada saya, saya mencoba membuktikan teori tersebut, dan ternyata, bila harga di masa depan, atau disebut juga future value, dihitung dengan rumus 'Rule 72', maka hasilnya akan sangat mendekati dengan hasil hitungan menggunakan kalkulator finansial.

Contoh:
Present value: 121,000 rupiah
Waktu: 12 tahun
Inflasi: 9% pertahun
Future value: ...?

Rumus menghitung inflasi pada umumnya: FV = PV (1 + i/100)^tahun

FV = 121,000 (1 + 9/100)^12 = 340,332


Rumus menggunakan rule 72:

72/9 = 8
Setiap 8 tahun sekali, harga barang akan menjadi 2 kali lipat. Maka dalam 12 tahun, harga 121,000 rupiah menjadi 121,000 x (2^(12/8)) = 121,000 x 4.75... = 342,239


Saya langsung menjadi penasaran. Ada apa dengan angka 72, sehingga bisa digunakan untuk rumus seperti itu? Mengapa angka 72 begitu istimewa?

Apa yang menyebabkan angka 72 bisa dimasukkan ke dalam rumus 'Rule 72', sehingga namanya 'Rule 72' dan bukannya 'Rule 69'.

Maka saya pun mengutak-atik rumus tersebut, untuk mencari tahu, mengapa angka 72 dijadikan variabel di dalamnya.

Pertama-tama, saya mulai menyederhanakan bentuk formulanya:

Jadi, apakah benar, 1 ditambah i/100 pangkat 72 dibagi i adalah 2?
Saya mulai memasukkan faktor-faktor dari 72 ke dalam rumus tersebut.

--> 1.01^72 = 2.047...
--> 1.02^36 = 2.039...
--> 1.03^24 = 2.032...
--> 1.04^18 = 2.025...
--> 1.06^12 = 2.012... --> untuk tingkat inflasi 6% maka hasilnya akan sangat mendekati angka 2
--> 1.08^9 = 1.999... --> masih sangat mendekati 2
--> 1.09^8 = 1.992...
--> 1.12^6 = 1.973...
--> 1.18^4 = 1.938...
--> 1.24^3 = 1.906... --> mulai agak jauh
--> 1.36^2 = 1.849... ---> sudah jauh
--> 1.72^1 = 1.72 ---> dan akhirnya, hasil yang mutlak...

Tentu saja 1.72 pangkat 1 bukanlah 2 hasilnya. Ternyata 72 bukanlah variabel mutlak yang bisa diaplikasikan selamanya. Lantas, untuk apa ia dijadikan variabel?

Setelah saya pikirkan lagi, memang 72 bisa saja digantikan dengan 71, 73, 69, dan bilangan lain yang mendekati angka 72. Namun saya akhirnya menyimpulkan, bilangan 72 diambil sebagai variabel dalam rumus ini, adalah karena, di antara angka-angka yang bila dijadikan variabel pembagi angka inflasi maka hasilnya akan mendekati 2, angka 72 adalah bilangan yang memiliki paling banyak faktor, sehingga untuk membagi inflasinya cenderung akan lebih mudah. Dan lagian, selama angka inflasinya tidak melebihi 20%, maka deviasinya tidak akan begitu besar. Terutama, untuk Indonesia yang rata-rata inflasinya berkisar 6 - 9 %, seperti yang bisa dilihat pada percobaan di atas, maka hasilnya akan sangat mendekati kebenaran.

Selamat mencoba!

Pemetaan Faktor

Faktor adalah angka-angka yang dapat membagi suatu bilangan.

Contoh:
Faktor dari angka 8 adalah 1, 2, 4, dan 8. Angka 8 memiliki 4 faktor.
Faktor dari angka 9 adalah 1, 3, dan 9. Angka 9 memiliki 3 faktor.

Bilangan yang tidak memiliki faktor selain dirinya dan 1, disebut bilangan prima.

Untuk melihat pemetaan faktor pada bilangan 1 sampai 100, di bawah ini ada kotak 10 x 10. Masing-masing kotak mewakili satu angka dari 1 - 100, dimulai dari kiri atas sampai ke kanan bawah. Di dalam setiap kotak, tertulis faktor-faktor dari angka yang diwakili.

1	1,2	1,3	1,2,4	1,5	1,2, 3,6	1,7	1,2, 4,8	1,3,9	1,2, 5,10
1,11	1,2, 3,4, 6,12	1,13	1,2, 7,14	1,3, 5,15	1,2,4, 8,16	1,17	1,2,3, 6,9,18	1,19	1,2,4, 5,10, 20
1,3, 7,21	1,2, 11,22	1,23	1,2,3, 4,6,8, 12,24	1,5,25	1,2, 13,26	1,3, 9,27	1,2, 4,7, 14,28	1,29	1,2,3, 5,6,10, 15,30
1,31	1,2, 4,8, 16,32	1,3, 11,33	1,2, 17,34	1,5, 7,35	1,2,3, 4,6,9, 12,18,36	1,37	1,2, 19,38	1,3, 13,39	1,2,4, 5,8,10, 20,40
1,41	1,2,3, 6,7,14, 21,42	1,43	1,2, 4,11, 22,44	1,3,5, 9,15,45	1,2, 23,46	1,47	1,2,3, 4,6,8, 12,16, 24,48	1,7,49	1,2,5, 10,25, 50
1,3, 17,51	1,2,4, 13,26,52	1,53	1,2,3, 6,9,18, 27,54	1,5, 11,55	1,2,4, 7,8,14, 28,56	1,3, 19,57	1,2, 29,58	1,59	1,2,3, 4,5,6, 10,12, 15,20, 30,60
1,61	1,2, 31,62	1,3, 7,9, 21,63	1,2,4, 8,16, 32,64	1,5, 13,65	1,2,3, 6,11,22, 33,66	1,67	1,2,4, 17,34,68	1,3, 23,69	1,2,5, 7,10, 14,35, 70
1,71	1,2,3, 4,6,8, 9,12,18, 24,36,72	1,73	1,2, 37,74	1,3,5, 15,25, 75	1,2,4, 19,38,76	1,7, 11,77	1,2,3, 6,13,26, 39,78	1,79	1,2,4, 5,8,10, 16,20, 40,80
1,3,9, 27,81	1,2, 41,82	1,83	1,2,3, 4,6,7, 12,14,21, 28,42,84	1,5, 17,85	1,2, 43,86	1,3, 29,87	1,2,4, 8,11,22, 44,88	1,89	1,2,3, 5,6,9, 10,15, 18,30, 45,90
1,7, 13,91	1,2, 4,23, 46,92	1,3, 31,93	1,2, 47,94	1,5, 19,95	1,2,3, 4,6,8, 12,16,24, 32,48,96	1,97	1,2, 7,14, 49,98	1,3,9, 11,33, 99	1,2,4, 5,10, 20,25, 50,100

Bila kelipatan bilangan menimbulkan sebuah pola, maka bila pola kelipatan-kelipatan bilangan dari 1 - 100 digabungkan, akan muncul pemetaan faktor. Kotak manakah yang paling sering terisi angka? Kotak itulah yang memiliki banyak faktor.

Melihat pemetaan bilangan dari 1 - 100, ada...
Yang memiliki 1 faktor ada 1 angka, yaitu 1.
Yang memiliki 2 faktor ada 25 angka, yaitu bilangan-bilangan prima: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, dan 97.
Yang memiliki 3 faktor hanya ada 4 angka, yaitu bilangan-bilangan yang merupakan hasil dari bilangan prima kuadrat: 4, 9, 25, 49
Yang memiliki 4 faktor ada 32 bilangan, yaitu bilangan-bilangan yang merupakan hasil kali dari dua buah bilangan prima, atau hasil dari bilangan prima pangkat tiga: 6, 8, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 27, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, dan 95.
Yang memiliki 5 faktor ada 2 buah bilangan, yaitu 16 dan 81.
Yang memiliki 6 faktor ada 16 bilangan, yaitu 12, 18, 20, 28, 32, 44, 45, 50, 52, 63, 68, 75, 76, 92, 98, dan 99.
Satu-satunya yang memiliki 7 faktor adalah 64.
Yang memiliki 8 faktor ada 10 bilangan, yaitu 24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, dan 88
Yang memiliki 9 faktor ada 2 buah bilangan, yaitu 36 dan 100.
Yang memiliki 10 faktor ada 2 buah bilangan, yaitu 48 dan 80.

Dan... terakhir... jumlah faktor terbanyak yang bisa dimiliki bilangan di bawah 100 adalah 12!
Bilangan-bilangan yang memiliki jumlah faktor 12 di antaranya adalah 60, 72, 84, 90, dan 96.

Bisa disimpulkan bahwa bilangan-bilangan yang mempunyai jumlah faktor ganjil hanyalah bilangan-bilangan yang merupakan hasil dari pangkat genap suatu bilangan, karena di antara faktor-faktor mereka pasti ada satu bilangan yang hanya perlu dikalikan bilangan itu sendiri untuk menghasilkan si pemilik faktor.

Faktor memiliki kaitan erat dengan kelipatan. Di bangku SD dulu, kita diajarkan kedua materi itu berbarengan. Ada yang namanya Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK). FPB dan KPK sangatlah berguna ketika kita berusaha menyamakan penyebut dalam penjumlahan dan pengurangan pecahan.

Salah satu cara untuk mencari FPB dan KPK antara dua buah bilangan, adalah dengan membagi, bersama-sama dan berkali-kali, kedua bilangan tersebut, dengan bilangan prima terkecil, hingga kedua bilangan itu tidak bisa dibagi secara bersamaan lagi. Untuk mencari FPB-nya, tinggal kalikan bilangan-bilangan prima yang membagi kedua bilangan tersebut, dan untuk mencari KPK-nya, tinggal kalikan kedua bilangan tersebut lalu hasilnya dibagi dengan FPB yang sudah ditemukan.

Contoh:
Carilah FPB dan KPK dari 60 dan 72

60                   72                  : 2
30                   36                  : 2
15                   18                  : 3
5                      6                   : ? ---> tidak bisa disederhanakan lagi

Berarti, FPB dari 60 dan 72 adalah 2 x 2 x 3 = 12
Maka KPK dari 60 dan 72 adalah 60 x 72 : 12 = 360

Oleh karena itulah, maka KPK dari kedua bilangan yang tidak memiliki faktor persekutuan adalah hasil kali kedua bilangan tersebut.

Contoh:
KPK dari 5 dan 7 adalah 5 x 7 = 35
KPK dari 4 dan 9 adalah 4 x 9 = 36

Last note:
KPK dari 1 - 10 adalah 2520

Cheers!

Pola dari Kelipatan

Kelipatan, dalam Matematika, adalah hasil kali suatu bilangan dengan bilangan lainnya (definisi dengan bahasa saya sendiri, jadi kalau mau copy-paste untuk tugas sekolah, saya tidak menanggung kebenarannya). Misal, kelipatan dari 2 adalah 4, 6, 8, 10, dst.

Kalau kita perhatikan, sebenarnya kelipatan dari tiap-tiap bilangan adalah sebuah pola. Kelipatan 2, setiap bilangannya berjarak 1 bilangan. Kelipatan 3, setiap bilangan berjarak 2, kelipatan 4 berjarak 3, dan seterusnya.

Bayangkan ada sebuah kotak persegi berukuran 10 x 10 kotak persegi. Setiap kotak mewakili angka 1 - 100.

Bila diaplikasikan ke dalam kotak-kotak ini, maka kelipatan setiap bilangan akan membentuk pola yang unik.

Oke, sebenarnya saya sudah pernah membahas mengenai hal ini di blog saya lainnya, yaitu Portfolio, berjudul 'Mathematic Pattern'.

Pada saat bilangan berlipat sejumlah bilangan itu sendiri, maka akan disebut bilangan pangkat dua, atau bilangan kuadrat. Bila bilangan kuadrat itu dilipatkan lagi, maka akan menjadi bilangan pangkat tiga, dan seterusnya.

a^1 = a
(Sebenarnya aku ingin memulai ini dengan a^0 = 1, namun selalu sulit untuk menjelaskan hal itu kepada orang lain. Padahal logikanya sangat jelas di kepalaku. Aku akan membahasnya lain kali saja di post-post berikutnya.)

a^2 = a x a
a^3 = a x a x a
a^4 = a x a x a x a

Dan seterusnya...

Kemudian, dari bilangan perpangkatan itu pun, terbentuk pola lain yang juga sangat menarik.
Ternyata, satuan dalam deretan bilangan pangkat sekian, selalu memiliki pola yang berulang setiap pangkat kelipatan 4.

Contoh:
2 --> 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, dst...
--> perhatikan satuannya: 2, 4, 8, 6, lalu terulang lagi dari 2, lalu 4 lagi, lalu 8 lagi, dst

3 --> 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561...
--> begitu juga dengan 3, satuannya terus berulang dengan pola: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1

Hukum itu berlaku bagi angka 2, 3, 7, dan 8.

Angka 4 dan 9 terulang setiap pangkat kelipatan 2, yang artinya juga terulang setiap kelipatan pangkat 4.

4 --> 4, 16, 64, 256, 1024, dst...
9 --> 9, 81, 729, 6561, dst...

Dan begitu juga angka-angka spesial seperti 0, 1, 5, dan 6, yang apabila dikalikan dirinya sendiri, satuannya selalu dirinya sendiri.

Kalau dilihat dari tabel 'Pola Satuan dalam Bilangan Pangkat' di atas, maka bisa disimpulkan:

1. Satuan dalam bilangan sekian pangkat 1, 5, 9, 13, 17, dst (deret bilangan setelah kelipatan 4), selalu merupakan bilangan itu sendiri.

2. Dalam deret bilangan sekian pangkat 3, 7, 11, 15, 19, dst (deret bilangan sebelum kelipatan 4), dua buah bilangan, yang bila satuannya dijumlahkan, hasilnya samadengan 10, maka satuan kedua bilangan itu dalam deret bilangan pangkat angka berapapun sebelum kelipatan 4, jumlahnya juga 10.
Hm... agak ribet ya, penjelasannya. Saya beri contohnya saja:
1 + 9 = 10 ------> (1^3) + (9^3) = 1 + 729 --> 1 + 9 = 10
2 + 8 = 10 ------> (2^3) + (8^3) = 8 + 512 --> 8 + 2 = 10
3 + 7 = 10 ------> (3^3) + (7^3) = 27 + 343 --> 7 + 3 = 10
4 + 6 = 10 ------> (4^3) + (6^3) = 64 + 216 --> 4 + 6 = 10
5 + 5 = 10 ------> (5^3) + (5^3) = 125 + 125 --> 5 + 5 = 10

Atau, dengan kata lain, untuk bilangan 2, 3, 7, dan 8, satuan dalam deret bilangan mereka pangkat 3, 7, 11, dst adalah 10 - bilangan-bilangan tersebut.
Sementara untuk bilangan 1, 4, 5, 6, dan 9, yang merupakan satuan-satuan dalam deret bilangan kuadrat, satuan dalam deret bilangan mereka pangkat 3, 7, 11, dst adalah diri mereka sendiri.

3. Satuan dalam dua bilangan yang bila dijumlahkan hasilnya samadengan 10, maka satuan dalam kedua bilangan tersebut pangkat genap selalu sama.

1 dan 9 --> pangkat 2 menjadi 1 dan 81, pangkat 4 menjadi 1 dan 6561, dst
2 dan 8 --> pangkat 2 menjadi 4 dan 64, pangkat 4 menjadi 16 dan 4096, dst
3 dan 7 --> pangkat 2 menjadi 9 dan 49, pangkat 4 menjadi 81 dan 2401, dst
4 dan 6 --> pangkat 2 menjadi 16 dan 36, pangkat 4 menjadi 256 dan 1296, dst

Maka, bila dilihat di tabel, dalam setiap kolom pangkat genap, pola satuannya akan seperti cermin, dengan 5 sebagai pusat pencerminannya.

4. Ada sekelompok angka spesial dari pola satuan dalam bilangan pangkat. Kelompok angkanya adalah:
   a. Satuan yang bisa muncul dalam bilangan pangkat genap hanyalah 1, 4, 5, 6,  dan 9
   b. Satuan yang bisa muncul dalam bilangan pangkat kelipatan 4 hanya ada 3 angka, yaitu 1, 5, dan 6

5. Karena fakta yang saya simpulkan pada poin 4b tersebut, maka itulah, mengapa pola satuan dalam bilangan pangkat selalu terulang di bilangan pangkat kelipatan 4. Karena, angka-angka tersebut memiliki keistimewaan:
       1 --> setiap bilangan dikalikan 1 maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri
          --> sementara, setiap bilangan ganjil pangkat 4 dan kelipatannya selalu memiliki satuan 1
       5 --> setiap bilangan ganjil dikalikan 5 maka satuannya pasti 5
          --> 5 menjadi angka yang sangat spesial dan tersendiri dalam pembicaraan ini
       6 --> setiap bilangan genap dikalikan 6 maka satuannya pasti bilangan itu sendiri
          --> sementara, setiap bilangan genap pangkat 4 dan kelipatannya selalu memiliki satuan 6