Masih ingat prinsip di bawah ini?
a. (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
b. (x-y)^2 = x^2 -2xy + y^2
c. (x+y) (x-y) = x^2 - y^2
Mari kita bahas prinsip yang ke-3, atau prinsip c.
(x+y) (x-y) = x^2 - y^2
Mengapa (x+y) (x-y) = x^2 - y^2?
Coba perhatikan deret bilangan pangkat 2:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ... dst
Selisih antar bilangan itu adalah hasil dari penjumlahan akar kedua bilangan, yang menghasilkan prinsip x^2 - y^2 = x + y
1^2 = 1
2^2 = 4
4 - 1 = 3 --> 1 + 2
2^2 = 4
3^2 = 9
9 - 4 = 5 --> 2 + 3
Ketika x = y + 1, maka x^2 - y^2 = x + y
Sekarang contoh untuk bilangan lainnya:
Bagaimana kalau x = 6 dan y = 2?
6^2 = 36
2^2 = 4
36 - 4 = 32
Selisih antara 2^2 dengan 6^2 adalah 32.
2 + 6 = 8
32 : 8 = 4
4 = 6 - 2
Maka dari situ lah mengapa x^2 - y^2 = (x+y)(x-y).
Karena x^2 - y^2 = (x+y)(x-y), maka dalam kasus x-y = 1, x^2 - y^2 otomatis menjadi x + y.
Itulah penjelasan mengenai logika di balik prinsip x^2 - y^2 = (x+y)(x-y), yang sudah berusaha saya jabarkan sejelas mungkin.
Penerapan prinsip (x+y) (x-y) = x^2 - y^2 bisa jadi sangat praktis untuk digunakan dalam menghitung sisi terpendek dari segitiga siku-siku.
Sebelum kita masuk ke pembahasan mengenai segitiga, mari kita sepakati bahwa:
x = sisi miring (sisi terpanjang)
y = sisi tegak lurus yang lebih panjang dari z
z = sisi terpendek
Oke?
Oke! Mari kita mulai.
Misalnya, diketahui, panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku (x) adalah 26, dan panjang salah satu dari sisi tegak lurusnya (y) adalah 24. Maka kita tinggal mencari panjang satu sisi lainnya.
x = 26
y = 24
z = ?
Dibandingkan menghitung (26^2)-(24^2), akan lebih mudah untuk menghitung (26+24)(26-24).
26+24=50
26-24=2
50 x 2 = 100
√100 = 10
Voila! z = 10
Sekarang, bagaimana bila yang dicari adalah x (sisi miring) atau y (sisi tegak lurus panjang)?
Sebelum masuk ke pembahasan ke dua, mari kita buat kesepakatan ke dua, bahwa kita sedang membicarakan bilangan-bilangan bulat. Rumus-rumus dan trik-trik ini hanya berlaku bila kita membicarakan bilangan bulat. Akar 25 adalah bilangan bulat. Akar 31 bukan bilangan bulat. Mengerti bedanya? Baiklah! Kita bisa mulai ke pembahasan ke dua.
Bila x, y, dan z adalah bilangan-bilangan yang tidak memiliki faktor persekutuan, maka:
x = 1 + y
sehingga:
z^2 = y + x
Sekali lagi harap diingat, bahwa prinsip ini hanya berlaku untuk bilangan bulat.
Berikut adalah daftar kelompok bilangan bulat yang bisa membentuk segitiga siku-siku:
z, y, x =
3, 4, 5 dan kelipatannya {(6, 8, 10), (9, 12, 15),..}
5, 12, 13 dan kelipatannya {(10, 24, 26), (15, 36, 39),...}
7, 24, 25 dan kelipatannya
9, 40, 41 dan kelipatannya
11, 60, 61 dan kelipatannya
Contoh 1:
y = 84
z = 13 --> bilangan prima --> tidak ada faktor --> tidak ada faktor persekutuan dengan bilangan apapun, termasuk 84
maka x = y + 1 = 84 + 1 = 85
Contoh 2:
z = 15
x = 113 --> bilangan prima --> tidak ada faktor --> tidak ada faktor persekutuan dengan bilangan apapun, termasuk 15
maka y = x - 1 = 113 - 1 = 112
Bagaimana bila x, y, dan z memiliki faktor persekutuan?
Maka angka-angka tersebut pasti merupakan kelipatan dari kelompok angka-angka dasar yang membentuk segitiga siku-siku yang sudah disebutkan di atas.
Cara mudah untuk menghitung x dan y adalah dengan menggunakan Faktor Persekutuan ter-Besar (FPB) dari z dan x ataupun z dan y.
y = x - (FPB x & z)
x = y + (FPB y & z)
Contoh 3:
z = 15
y = 36
x = ?
FPB dari 15 dan 36 adalah 3
Maka x = y + 3 = 36 + 3 = 39
Contoh 4:
z = 15
x = 25
y = ?
FPB dari 15 dan 25 adalah 5
Maka y = x - 5 = 25 - 5 = 20
Jadi, berikut adalah ringkasan dan kesimpulan dari pembahasan segitiga siku-siku hari ini:
a. x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)
b. z^2 = (x+y)(x-y)
c. bila x, y, z tidak memiliki faktor persekutuan, maka y = x + 1
d. bila y = x + 1, maka z^2 = x + y
e. bila x, y, dan z memiliki faktor persekutuan, maka y = x - (FPB x & z), dan
f. x = y + (FPB y & z)
Mudah sekali kan?
Sekarang, coba terapkan cara termudah untuk mengerjakan soal-soal di bawah ini:
Selamat menikmati!
a. (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
b. (x-y)^2 = x^2 -2xy + y^2
c. (x+y) (x-y) = x^2 - y^2
Mari kita bahas prinsip yang ke-3, atau prinsip c.
(x+y) (x-y) = x^2 - y^2
Mengapa (x+y) (x-y) = x^2 - y^2?
Coba perhatikan deret bilangan pangkat 2:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ... dst
Selisih antar bilangan itu adalah hasil dari penjumlahan akar kedua bilangan, yang menghasilkan prinsip x^2 - y^2 = x + y
1^2 = 1
2^2 = 4
4 - 1 = 3 --> 1 + 2
2^2 = 4
3^2 = 9
9 - 4 = 5 --> 2 + 3
Ketika x = y + 1, maka x^2 - y^2 = x + y
Sekarang contoh untuk bilangan lainnya:
Bagaimana kalau x = 6 dan y = 2?
6^2 = 36
2^2 = 4
36 - 4 = 32
Selisih antara 2^2 dengan 6^2 adalah 32.
2 + 6 = 8
32 : 8 = 4
4 = 6 - 2
Maka dari situ lah mengapa x^2 - y^2 = (x+y)(x-y).
Karena x^2 - y^2 = (x+y)(x-y), maka dalam kasus x-y = 1, x^2 - y^2 otomatis menjadi x + y.
Itulah penjelasan mengenai logika di balik prinsip x^2 - y^2 = (x+y)(x-y), yang sudah berusaha saya jabarkan sejelas mungkin.
Penerapan prinsip (x+y) (x-y) = x^2 - y^2 bisa jadi sangat praktis untuk digunakan dalam menghitung sisi terpendek dari segitiga siku-siku.
Sebelum kita masuk ke pembahasan mengenai segitiga, mari kita sepakati bahwa:
x = sisi miring (sisi terpanjang)
y = sisi tegak lurus yang lebih panjang dari z
z = sisi terpendek
Oke?
Oke! Mari kita mulai.
Misalnya, diketahui, panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku (x) adalah 26, dan panjang salah satu dari sisi tegak lurusnya (y) adalah 24. Maka kita tinggal mencari panjang satu sisi lainnya.
Gambar contoh soal (abaikan proporsinya)
x = 26
y = 24
z = ?
Dibandingkan menghitung (26^2)-(24^2), akan lebih mudah untuk menghitung (26+24)(26-24).
26+24=50
26-24=2
50 x 2 = 100
√100 = 10
Voila! z = 10
Sekarang, bagaimana bila yang dicari adalah x (sisi miring) atau y (sisi tegak lurus panjang)?
Sebelum masuk ke pembahasan ke dua, mari kita buat kesepakatan ke dua, bahwa kita sedang membicarakan bilangan-bilangan bulat. Rumus-rumus dan trik-trik ini hanya berlaku bila kita membicarakan bilangan bulat. Akar 25 adalah bilangan bulat. Akar 31 bukan bilangan bulat. Mengerti bedanya? Baiklah! Kita bisa mulai ke pembahasan ke dua.
Bila x, y, dan z adalah bilangan-bilangan yang tidak memiliki faktor persekutuan, maka:
x = 1 + y
z^2 = y + x
Sekali lagi harap diingat, bahwa prinsip ini hanya berlaku untuk bilangan bulat.
Berikut adalah daftar kelompok bilangan bulat yang bisa membentuk segitiga siku-siku:
z, y, x =
3, 4, 5 dan kelipatannya {(6, 8, 10), (9, 12, 15),..}
5, 12, 13 dan kelipatannya {(10, 24, 26), (15, 36, 39),...}
7, 24, 25 dan kelipatannya
9, 40, 41 dan kelipatannya
11, 60, 61 dan kelipatannya
Perhatikan bahwa, ketika x = y + 1, maka salah satu dari x atau z atau keduanya pasti bilangan prima, sehingga bilangan-bilangan tersebut tidak mungkin memiliki faktor persekutuan.
Gambar contoh 1 (abaikan proporsinya)
y = 84
z = 13 --> bilangan prima --> tidak ada faktor --> tidak ada faktor persekutuan dengan bilangan apapun, termasuk 84
maka x = y + 1 = 84 + 1 = 85
Contoh 2:
Gambar contoh 2 (abaikan proporsi)
z = 15
x = 113 --> bilangan prima --> tidak ada faktor --> tidak ada faktor persekutuan dengan bilangan apapun, termasuk 15
maka y = x - 1 = 113 - 1 = 112
Bagaimana bila x, y, dan z memiliki faktor persekutuan?
Maka angka-angka tersebut pasti merupakan kelipatan dari kelompok angka-angka dasar yang membentuk segitiga siku-siku yang sudah disebutkan di atas.
Cara mudah untuk menghitung x dan y adalah dengan menggunakan Faktor Persekutuan ter-Besar (FPB) dari z dan x ataupun z dan y.
y = x - (FPB x & z)
x = y + (FPB y & z)
Contoh 3:
Gambar contoh 3 (abaikan proporsi)
z = 15
y = 36
x = ?
FPB dari 15 dan 36 adalah 3
Maka x = y + 3 = 36 + 3 = 39
Contoh 4:
Gambar contoh 4 (abaikan proporsi)
z = 15
x = 25
y = ?
FPB dari 15 dan 25 adalah 5
Maka y = x - 5 = 25 - 5 = 20
Jadi, berikut adalah ringkasan dan kesimpulan dari pembahasan segitiga siku-siku hari ini:
a. x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)
b. z^2 = (x+y)(x-y)
c. bila x, y, z tidak memiliki faktor persekutuan, maka y = x + 1
d. bila y = x + 1, maka z^2 = x + y
e. bila x, y, dan z memiliki faktor persekutuan, maka y = x - (FPB x & z), dan
f. x = y + (FPB y & z)
Mudah sekali kan?
Sekarang, coba terapkan cara termudah untuk mengerjakan soal-soal di bawah ini:
Soal 1 (abaikan proporsi)
Soal 2 (abaikan proporsi)
Soal 3 (abaikan proporsi)
Selamat menikmati!
