Math is Art

Sebelumnya, saya pernah membahas soal pola yang terbentuk dari kelipatan.

http://astaripahlevimathfreak.blogspot.com/2011/12/pola-dari-kelipatan.html

Pada dasarnya, matematika adalah pola, dan setiap pola bisa dihitung dengan matematika.

Di sisi lain, pola juga memiliki kaitan erat dengan seni. Pola, yang sederhana maupun rumit, memiliki estetikanya tersendiri, sehingga, pola juga merupakan bagian dari seni.

Pola adalah pertemuan antara matematika dan seni.

Itulah yang menginspirasi saya untuk membuat karya-karya ini, yang merupakan pola yang terbentuk dari kelipatan-kelipatan bilangan 1 - 100 dalam kotak 10 x 10.

2010

2015

2016

2017

2017

Perpangkatan Dua untuk Bilangan dengan Satuan 5

Hari ini kita akan membahas asal muasal trik mudah mengalikan pangkat dua khusus bilangan-bilangan dengan satuan 5.

Berapakah 15^2? 25^2? 35^2?

Masih ingat prinsip (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2?

Bila y = 5 dan x = kelipatan 10, sebut saja 10z
Maka:
(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
(10z+5)^2 = 100z^2 + 2(5)(10z) + 25
(10z+5)^2 = 100z^2 + 100z + 25
(10z+5)^2 = 100z (z+1) + 25

Karena itu, setiap bilangan yang memiliki 5 sebagai satuan, memiliki trik pangkat dua sebagai berikut:

Contoh: 35
(30+5)^2 = 100(3)(3+1) + 25
(30+5)^2 = 100(3x4) + 25
(30+5)^2 = 100(12) + 25
(30+5)^2 = 1200 + 25
(30+5)^2 = 1225

Itulah penjelasan di balik trik yang sangatlah terkenal dan praktis itu ;)

Cara Mudah Menghitung Segitiga Siku-siku

Masih ingat prinsip di bawah ini?

a. (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
b. (x-y)^2 = x^2 -2xy + y^2
c. (x+y) (x-y) = x^2 - y^2

Mari kita bahas prinsip yang ke-3, atau prinsip c.

(x+y) (x-y) = x^2 - y^2

Mengapa (x+y) (x-y) = x^2 - y^2?

Coba perhatikan deret bilangan pangkat 2:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ... dst

Selisih antar bilangan itu adalah hasil dari penjumlahan akar kedua bilangan, yang menghasilkan prinsip x^2 - y^2 = x + y

1^2 = 1
2^2 = 4
4 - 1 = 3 --> 1 + 2

2^2 = 4
3^2 = 9
9 - 4 = 5 --> 2 + 3

Ketika x = y + 1, maka x^2 - y^2 = x + y

Sekarang contoh untuk bilangan lainnya:
Bagaimana kalau x = 6 dan y = 2?
6^2 = 36
2^2 = 4
36 - 4 = 32

Selisih antara 2^2 dengan 6^2 adalah 32.
2 + 6 = 8
32 : 8 = 4
4 = 6 - 2

Maka dari situ lah mengapa x^2 - y^2 = (x+y)(x-y).
Karena x^2 - y^2 = (x+y)(x-y), maka dalam kasus x-y = 1, x^2 - y^2 otomatis menjadi x + y.

Itulah penjelasan mengenai logika di balik prinsip x^2 - y^2 = (x+y)(x-y), yang sudah berusaha saya jabarkan sejelas mungkin.

Penerapan prinsip (x+y) (x-y) = x^2 - y^2 bisa jadi sangat praktis untuk digunakan dalam menghitung sisi terpendek dari segitiga siku-siku.

Sebelum kita masuk ke pembahasan mengenai segitiga, mari kita sepakati bahwa:
x = sisi miring (sisi terpanjang)
y = sisi tegak lurus yang lebih panjang dari z
z = sisi terpendek

Oke?

Oke! Mari kita mulai.

Misalnya, diketahui, panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku (x) adalah 26, dan panjang salah satu dari sisi tegak lurusnya (y) adalah 24. Maka kita tinggal mencari panjang satu sisi lainnya.

Gambar contoh soal (abaikan proporsinya)

x = 26
y = 24
z = ?

Dibandingkan menghitung (26^2)-(24^2), akan lebih mudah untuk menghitung (26+24)(26-24).

26+24=50
26-24=2
50 x 2 = 100
√100 = 10

Voila! z = 10

Sekarang, bagaimana bila yang dicari adalah x (sisi miring) atau y (sisi tegak lurus panjang)?

Sebelum masuk ke pembahasan ke dua, mari kita buat kesepakatan ke dua, bahwa kita sedang membicarakan bilangan-bilangan bulat. Rumus-rumus dan trik-trik ini hanya berlaku bila kita membicarakan bilangan bulat. Akar 25 adalah bilangan bulat. Akar 31 bukan bilangan bulat. Mengerti bedanya? Baiklah! Kita bisa mulai ke pembahasan ke dua.

Bila x, y, dan z adalah bilangan-bilangan yang tidak memiliki faktor persekutuan, maka:

x = 1 + y

sehingga:

z^2 = y + x

Sekali lagi harap diingat, bahwa prinsip ini hanya berlaku untuk bilangan bulat.

Berikut adalah daftar kelompok bilangan bulat yang bisa membentuk segitiga siku-siku:

z, y, x =
3, 4, 5 dan kelipatannya {(6, 8, 10), (9, 12, 15),..}
5, 12, 13 dan kelipatannya {(10, 24, 26), (15, 36, 39),...}
7, 24, 25 dan kelipatannya
9, 40, 41 dan kelipatannya
11, 60, 61 dan kelipatannya

Perhatikan bahwa, ketika x = y + 1, maka salah satu dari x atau z atau keduanya pasti bilangan prima, sehingga bilangan-bilangan tersebut tidak mungkin memiliki faktor persekutuan.

Contoh 1:

Gambar contoh 1 (abaikan proporsinya)

y = 84
z = 13 --> bilangan prima --> tidak ada faktor --> tidak ada faktor persekutuan dengan bilangan apapun, termasuk 84

maka x = y + 1 = 84 + 1 = 85


Contoh 2:

Gambar contoh 2 (abaikan proporsi)

z = 15
x = 113 --> bilangan prima --> tidak ada faktor --> tidak ada faktor persekutuan dengan bilangan apapun, termasuk 15

maka y = x - 1 = 113 - 1 = 112


Bagaimana bila x, y, dan z memiliki faktor persekutuan?

Maka angka-angka tersebut pasti merupakan kelipatan dari kelompok angka-angka dasar yang membentuk segitiga siku-siku yang sudah disebutkan di atas.

Cara mudah untuk menghitung x dan y adalah dengan menggunakan Faktor Persekutuan ter-Besar (FPB) dari z dan x ataupun z dan y.

y = x - (FPB x & z)
x = y + (FPB y & z)

Contoh 3:

Gambar contoh 3 (abaikan proporsi)

z = 15
y = 36
x = ?
FPB dari 15 dan 36 adalah 3
Maka x = y + 3 = 36 + 3 = 39


Contoh 4:

Gambar contoh 4 (abaikan proporsi)

z = 15
x = 25
y = ?
FPB dari 15 dan 25 adalah 5
Maka y = x - 5 = 25 - 5 = 20

Jadi, berikut adalah ringkasan dan kesimpulan dari pembahasan segitiga siku-siku hari ini:

a. x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)
b. z^2 = (x+y)(x-y)
c. bila x, y, z tidak memiliki faktor persekutuan, maka y = x + 1
d. bila y = x + 1, maka z^2 = x + y
e. bila x, y, dan z memiliki faktor persekutuan, maka y = x - (FPB x & z), dan
f. x = y + (FPB y & z)

Mudah sekali kan?

Sekarang, coba terapkan cara termudah untuk mengerjakan soal-soal di bawah ini:

Soal 1 (abaikan proporsi)

Soal 2 (abaikan proporsi)

Soal 3 (abaikan proporsi)

Selamat menikmati!

Seandainya tidak ada angka...

Ada 10 angka yang umum digunakan, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Angka-angka itu umum digunakan sehari-hari karena umumnya perhitungan menggunakan sistem 10^n.

Apa jadinya kalau tidak ada angka-angka berikut:
9 --> Kalau tidak ada angka 9, berarti angka yang ada hanya 0 - 8, maka 9^n nilainya menjadi 10^n
   --> 1 = 1       5 = 5            9 = 10           13 = 14           17 = 18         45 = 50        81 = 100
         2 = 2       6 = 6           10 = 11          14 = 15           18 = 20         54 = 60      729 = 1,000
         3 = 3       7 = 7           11 = 12          15 = 16           27 = 30         63 = 70    6498 = 10,000
         4 = 4       8 = 8           12 = 13          16 = 17           36 = 40         72 = 80       dst.....


8 --> Kalau tidak ada angka 8, berarti angka yang ada hanya 0 - 7, maka 8^n nilainya menjadi 10^n
   --> 1 = 1              5 = 5            9 = 11           13 = 15           24 = 30         56 = 70
         2 = 2              6 = 6           10 = 12          14 = 16           32 = 40         64 = 100
         3 = 3              7 = 7           11 = 13          15 = 17           40 = 50       512 = 1,000
         4 = 4              8 = 10         12 = 14          16 = 20           48 = 60     4096 = 10,000       dst.....


7 --> Kalau tidak ada angka 7, berarti angka yang ada hanya 0 - 6, maka 7^n nilainya menjadi 10^n
   --> 1 = 1              5 = 5            9 = 12           13 = 16           35 = 50
         2 = 2              6 = 6           10 = 13          14 = 20           42 = 60
         3 = 3              7 = 10         11 = 14          21 = 30           49 = 100
         4 = 4              8 = 11         12 = 15          28 = 40         343 = 1,000       dst.....


6 --> Kalau tidak ada angka 6, berarti angka yang ada hanya 0 - 5, maka 6^n nilainya menjadi 10^n
   --> 1 = 1              5 = 5            9 = 13           18 = 30         216 = 1,000
         2 = 2              6 = 10         10 = 14          24 = 40       1296 = 10,000
         3 = 3              7 = 11         11 = 15          30 = 50       7776 = 100,000
         4 = 4              8 = 12         12 = 20          36 = 100   46656 = 1,000,000       dst.....


5 --> Kalau tidak ada angka 5, berarti angka yang ada hanya 0 - 4, maka 5^n nilainya menjadi 10^n
   --> 1 = 1              5 = 10           9 = 14           25 = 100
         2 = 2              6 = 11         10 = 20         125 = 1,000
         3 = 3              7 = 12         15 = 30         625 = 10,000
         4 = 4              8 = 13         20 = 40       3125 = 100,000       dst.....


4 --> Kalau tidak ada angka 4, berarti angka yang ada hanya 0 - 3, maka 4^n nilainya menjadi 10^n
   --> 1 = 1              8 = 20              64 = 1,000
         2 = 2            12 = 30            256 = 10,000
         3 = 3            16 = 100        1024 = 100,000
         4 = 10          32 = 200        4096 = 1,000,000        dst.....

Di sinilah kita bisa mulai bermain. Perbedaan antara ada dan tidaknya angka 9 tidak menimbulkan perbedaan angka yang besar pada bilangan-bilangan di bawah 100, karena 10 dan 9 selisihnya hanya 1 angka. Begitu juga dengan 8 dan 7 yang tidak terlalu jauh dari 10.
Sekarang kita akan bermain-main dengan ketiadaan angka 4 - 9. Angka yang ada hanya 0, 1, 2, dan 3.
Berarti:
3 + 2 = 11               12 - 3 = 3              2 x 3 = 12              32 : 2 = 13
2 + 2 = 10             20 - 13 = 1              3 x 3 = 21              33 : 3 = 11



3 --> Kalau tidak ada angka 3, berarti angka yang ada hanya 0 - 2, maka 3^n nilainya menjadi 10^n
   --> 1 = 1              5 = 12             9 = 100            15 = 120
         2 = 2              6 = 20           10 = 101            18 = 200
         3 = 10            7 = 21           11 = 102            20 = 202
         4 = 11            8 = 22           12 = 110            27 = 1,000          dst.....
Yang artinya:
2 + 2 = 11             21 - 2 = 12            2 x 2 = 11
1 + 2 = 10           20 - 11 = 2           12 x 11 = 202

Uniknya, 11, 101, 121, dan banyak bilangan ganjil lainnya menjadi bilangan genap.
Dan 11 bukan lagi bilangan prima karena ia merupakan hasil dari 2 x 2.
10, 21, 102, yang bukan bilangan prima, menjadi bilangan prima.


Dan... seandainya tidak ada angka lain, selain 0 dan 1, maka itulah yang disebut bilangan binary. 'Bi' artinya dua. Jadi bilangan binary artinya hanya ada dua angka, yaitu 0 dan 1, sehingga 2^n menjadi 10^n. Namun aku tidak akan membahasnya di sini karena sudah pernah dibahas di postingan khusus yang membahas bilangan binary.

Happy mathematic weekend guys!

Pohon Natal Fibonacci

Bicara soal Matematika, sepertinya materi yang paling pas untuk dibahas hari ini adalah Fibonacci.

Aku mendeskripsikan Fibonacci sebagai sebuah pola barisan deret bilangan, di mana angka-angka di setiap baris merupakan hasil penjumlahan dari dua angka di baris di atasnya, yang mengapit di kiri dan kanan.

Pohon natal di atas adalah deret Fibonacci, di mana angka-angka di baris bawah adalah penjumlahan dari dua angka di baris atasnya.

Itulah asal muasal rumus (x + y)^n.

Barisan pertama, yang hanya terdiri dari angka 1, mewakili (x+y)^0 = (x+y) : (x+y) = 1.

Barisan ke dua, yang terdiri dari dua buah angka 1, mewakili (x+y)^1 = x + y.

Barisan ke tiga, yang terdiri dari angka 1, 2, dan 1, mewakili (x+y)^2 = (x^2) + 2xy + (y^2).

Barisan ke empat, yang terdiri dari angka 1, 3, 3, dan 1, mewakili (x+y)^3 = (x^3) + 3y(x^2) + 3x(y^2) + (y^3).

Begitu seterusnya. Dalam penguraian (x+y) pangkat sekian, semakin ke kanan, pangkat x semakin mengecil, dan pangkat y semakin membesar, dengan variable angka sesuai deret Fibonacci.

Bila angka-angka dalam baris deret Fibonacci di atas dijumlahkan, maka hasil penjumlahan angka-angka dalam setiap baris adalah 2 pangkat baris yang mewakilinya.

1 = 2^0

1 + 1 = 2 = 2^1

1 + 2 + 1 = 4 = 2^2

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4

Dalam kasus angka 2, (x+y) adalah (1 + 1).

Cobalah praktekkan bilangan Fibonacci dengan angka lainnya.

5^3 = (3+2)^3 = 1 (3^3) + 3 (3^2)(2) + 3 (3)(2^2) + 1 (2^3) = 27 + 54 + 36 + 8 = 125

--à 5 x 5 x 5 = 125

5^4 = (3+2)^4 = 1 (3^4) + 4 (3^3)(2) + 6 (3^2)(2^2) + 4 (3)(2^3) + 1 (2^4) = 81 + 216 + 216 + 96 + 16 = 625

--à 5 x 5 x 5 x 5 = 625

Selamat natal, Teman-teman!

Bilangan Perpangkatan

Seperti sudah dijelaskan dalam post berjudul “Pola dalam Kelipatan”, perpangkatan adalah formula untuk menyatakan berapa kali suatu bilangan dikalikan dirinya sendiri.

a^1 = a

a^2 = a x a

a^3 = a x a x a

a^4 = a x a x a x a

Dan itulah mengapa a^0 = 1. Karena a^1, berarti ada 1 angka a. Bila a^0, berarti sama sekali belum dikalikan dengan a, yaitu 1.

Penjelasan yang lebih mudah dipahami mungkin melalui sifat a^(b-c).

Contoh:

2^(5 – 3) = 2^2 = 4

2^(5 – 3) = 2^5 : 2^3 = 32:8 = 4

Jadi, bila 2 dipangkatkan dengan 0, adalah 2^(a – b) di mana a – b = 0. Bila a – b = 0, maka a = b.

2^(5 – 5) = 2^5 : 2^5 = 32 : 32 = 1

2^(1 – 1) = 2 : 2 = 1

Apakah sudah cukup jelas?

Jadi, bila pangkat positif berarti bilangan tersebut dikalikan bilangan itu sendiri sebanyak n, maka bila pangkatnya negative, berarti bilangan tersebut dibagi dengan bilangan itu sendiri sebanyak n.

2^(-1) = (2^0) : (2^1) = 1 : 2 = ½

2^(-4) = 1/16

Hukum lainnya adalah hasil dari 'x pangkat 1/2' adalah 'akar x'.

Jadi 4 pangkat 1/2 adalah 2.

Maka 9 pangkat 5/2 adalah 243.

Keistimewaan Setiap Bilangan

0
Satu-satunya bilangan yang memiliki semua bilangan sebagai faktornya. Pada bilangan lain, setelah bilangan yang nilainya setengah dari bilangan tersebut, tidak mungkin ada bilangan lain yang menjadi faktornya. Tapi semua bilangan adalah faktor dari 0. Karena setiap bilangan apapun, bila dikalikan dengan 0, maka hasilnya adalah 0.
Contoh: 4 x 0 = 0

Satu-satunya bilangan yang tidak mempunyai kelipatan selain dirinya sendiri.


1
Satu-satunya bilangan yang mempunyai hanya satu faktor.

Setiap bilangan adalah kelipatan dari 1, atau bisa dikatakan, setiap bilangan memiliki 1 sebagai faktor mereka.

Bilangan berapapun, dipangkatkan dengan angka 0, maka hasilnya 1, dan bila dipangkatkan 1, hasilnya bilangan itu sendiri.
Contoh: 2^0 = 1      2^1 = 2
             3^0 = 1      3^1 = 3


2
Pertama dan satu-satunya bilangan prima yang genap. Bilangan genap lain memiliki 2 sebagai faktor mereka.

Semua bilangan adalah hasil penjumlahan bilangan 2 pangkat sekian (lihat Sistem Bilangan Binary).
Contoh: 89 = 64 + 16 + 8 + 1 = (2^6) + (2^4) + (2^3) + (2^0)


3
Bilangan prima ganjil pertama, namun bukan satu-satunya.

Semua kelipatan 3, bila angka-angkanya dijumlahkan, maka hasilnya juga akan merupakan kelipatan 3.
Contoh: 3 x 17 = 51 --> 5 + 1 = 6
             3 x 15 = 45 --> 4 + 5 = 9


4
Pola satuan setiap bilangan pangkat sekian akan berlipat setiap pangkat kelipatan 4.
Contoh:
Deret bilangan 2^x: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, dst --> pola satuannya 2, 4, 8, 6, lalu 2 lagi.
Deret bilangan 3^x: 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561...
Hal itu dikarenakan, bilangan genap apapun, bila dikalikan bilangan itu sendiri sebanyak 4 kali, maka satuannya pasti memiliki satuan 6, sementara setiap bilangan genap dikali 6 hasil satuannya adalah bilangan itu sendiri.
Dan setiap bilangan ganjil selain 5, bila dikalikan bilangan itu sendiri sebanyak 4 kali, maka hasilnya pasti memiliki satuan 1, sementara bilangan berapapun bila dikalikan 1 hasilnya adalah bilangan itu sendiri.


5
Angka 5, bila dikalikan dengan dirinya sendiri, berapa kalipun, satuannya akan selalu 5. Hal itu dikarenakan bilangan ganjil apapun bila dikali 5 maka hasilnya pasti 5.

Bilangan genap apapun, bila dikalikan 5, satuannya pasti 0. Cara termudah untuk menghitung suatu bilangan genap dikali 5 adalah dengan membagi dua bilangan tersebut dan tinggal tambahkan 0 sebagai satuannya.
Contoh: 8 x 5 --> 8/2 = 4 --> 40
             18 x 5 --> 18/2 = 9 --> 90

Cara mudah untuk menghitung suatu bilangan ganjil dikali 5 adalah dengan mengurangi 1 bilangan tersebut, lalu dibagi 2, dan tambahkan 0 sebagai satuan.
Contoh: 13 x 5 --> 13 - 1 = 12 --> 12/2 = 6 --> 65


6
Angka 6, bila dikalikan dengan dirinya sendiri, berapa kalipun, satuannya akan selalu 6. Karena bilangan genap berapapun, bila dikalikan 6, maka hasilnya akan memiliki satuan bilangan itu sendiri. Hal itu dikarenakan fakta tentang angka 5, bahwa setiap bilangan genap dikali 5 satuannya pasti 0.


7
Satu, dibagi dengan angka 7, atau dengan kata lain 1/7, hasilnya adalah 0,142857142857142857...dst.
Bilangan 142857 yang terus berulang di sebelah kanan koma pada hasil 1 : 7 adalah sebuah bilangan yang unik karena merupakan Kelipatan Persekutuan dari beberapa bilangan prima, yaitu 3, 11, 13, dan 37.
Bila 142857 dipisahkan angka-angkanya menjadi 142 dan 857, kemudian dijumlahkan, maka hasilnya adalah 999.
142 + 857 = 999

Setiap bilangan yang bukan kelipatan 7 selalu memiliki angka 142857 yang berulang di belakang koma. Polanya selalu sama, namun yang membedakan hanya awalannya saja.
Bila n = 7 dan kelipatannya, maka:
(n+1) /7 = ...,142857
(n+2) /7 = ...,285714
(n+3) /7 = ...,428571
(n+4) /7 = ...,571428
(n+5) /7 = ...,714285
(n+6) /7 = ...,857142


8
1 : 8 = 0,125 --> 1 + 2 + 5 = 8


9
Bilangan berapapun, bila dikalikan 9, maka angka-angkanya bila dijumlahkan hasilnya samadengan 9.
Contoh: 13 x 9 = 117 --> 1 + 1 + 7 = 9